Rendement d'un champ de blé

Un agriculteur souhaite optimiser le rendement de son champ de blé. Après plusieurs années d'expérimentation, il a établi que le rendement `R(x)` de sa parcelle (en tonne par hectare) dépend de la quantité `x` d'engrais utilisée (en dizaines de kg par hectare) selon la relation : \(R(x) = -x² + 20x + 96\) avec \(x\in[0{;}30]\).

Problématique : quelle quantité d'engrais l'agriculteur doit-il utiliser pour obtenir un rendement maximum ? Quel sera alors le rendement maximum ?

S'approprier - Communiquer

1. Déterminer \(R(0)\).

2. Que signifie cette valeur dans le contexte agricole ?

Réaliser

3. Montrer que \(x_{1}=-4\) et \(x_{2}=24\) sont les racines du polynôme `R(x)`.

4. Écrire le polynôme \(R(x)\) sous forme factorisée.

5. Compléter le tableau de signes de la fonction \(R\) sur l'intervalle \([0{;}30]\).

Analyser - Raisonner

6. Proposer une méthode pour déterminer l'abscisse \(x_{s}\) du sommet de la parabole.

Appeler le professeur et expliquer la démarche.

Réaliser

7. Calculer l'abscisse \(x_{s}\) du sommet de la parabole.

8. Calculer la valeur du maximum de la fonction \(R\).

Valider

9. À l'aide de l'émulateur de la calculatrice NumWorks, représenter graphiquement la fonction \(R\) et valider les résultats.

Appeler le professeur et montrer la représentation graphique

Valider - Communiquer

10. Répondre par une phrase à la problématique.